1.4 . Раскрытие скобок. Вынесение общего множителя за скобки. Приведение подобных
слагаемыхНапомним, что разность чисел а и b равна сумме чисел а и
(
−
b
)
:
Поэтому, например, мы можем говорить «сумма
a
−
b
+
c
», имея в виду, что
a
−
b
+
c
=
a
+
(
−
b
)
+
c
.
Рассмотрим распределительный закон:
(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
.
Когда мы переходим в этом равенстве от левой части к правой, то говорим, что
раскрываем скобки
.
Если же мы переходим в
равенстве от правой части к левой, т. е. представляем его в виде
a
c
+
b
c
=
(
a
+
b
)
c
,
то говорим, что
выносим общий множитель за скобки
.
Аналогично для разности (рис. 8 , 9 ).
Применять распределительный закон можно для любого числа слагаемых. Например,
(
a
+
b
+
c
+
d
)
k
=
a
k
+
b
k
+
c
k
+
d
k
;
a
m
−
b
m
+
c
m
=
m
(
a
−
b
+
c
)
.
Круглые скобки впервые использовали в своих трудах М. Штифель (1544 г.,
Германия) и Д. Кардано (1545 г., Италия). Немецкий термин Klammer — скоба — введен Леонардом Эйлером в 1770 г. Статьи и
книги Л. Эйлера, в которых всюду употреблялись скобки, содействовали тому, что к
середине XVIII в. скобки стали употребляться во всех математических книгах.
Пример
1. Раскрыть скобки:
а)
a
+
3
b
+
2
(
4
c
−
d
+
5
k
)
;
б)
a
+
3
b
−
2
(
4
c
−
d
+
5
k
)
.
Решение . Эти примеры решаются на основании
распределительного закона.
а)
a
+
3
b
+
2
(
4
c
−
d
+
5
k
)
=
=
a
+
3
b
+
2
⋅
4
c
+
2
(
−
d
)
+
2
⋅
5
k
=
=
a
+
3
b
+
8
c
−
2
d
+
10
k
;
б)
a
+
3
b
−
2
(
4
c
−
d
+
5
k
)
=
=
a
+
3
b
+
(
−
2
)
(
4
c
−
d
+
5
k
)
=
=
a
+
3
b
+
(
−
2
)
4
c
+
(
−
2
)
(
−
d
)
+
(
−
2
)
5
k
=
=
a
+
3
b
−
8
c
+
2
d
−
10
k
.
Пример
2. Раскрыть скобки:
a
+
3
b
−
(
4
c
−
d
+
5
k
)
.
Решение . В этом примере перед скобками стоит знак
«минус». Чтобы применить распределительный закон, перед скобками записывают
множитель (−1).
a
+
3
b
−
(
4
c
−
d
+
5
k
)
=
a
+
3
b
+
(
−
1
)
(
4
c
−
d
+
5
k
)
=
=
a
+
3
b
+
(
−
1
)
4
c
+
(
−
1
)
(
−
d
)
+
(
−
1
)
5
k
=
=
a
+
3
b
−
4
c
+
d
−
5
k
.
Решить этот пример можно быстрее, если заметить, что
когда перед скобками стоит знак «минус», то, раскрывая скобки, мы знак каждого
слагаемого меняем на противоположный (рис. 10 ).
Используя это правило, сразу запишем:
a
+
3
b
−
(
4
c
−
d
+
5
k
)
=
a
+
3
b
−
4
c
+
d
−
5
k
.
Заметим, что когда перед скобками стоит знак «плюс», то, раскрывая скобки, знак
каждого слагаемого оставляют без изменения.
Пример
3. Вынести за скобки множитель
(
−
1
)
в выражении
−
b
+
5
c
−
4
d
+
6.
Решение .
−
b
+
5
c
−
4
d
+
6
=
(
−
1
)
b
+
(
−
1
)
(
−
5
c
)
+
(
−
1
)
4
d
+
(
−
1
)
(
−
6
)
=
=
(
−
1
)
⎛
⎝
b
+
(
−
5
c
)
+
4
d
+
(
−
6
)
⎞
⎠
=
−
(
b
−
5
c
+
4
d
−
6
)
.
Заметим, что
если мы выносим за скобки множитель (−1), то в скобках знак каждого слагаемого
меняем на противоположный (рис. 11 ).
Используя это правило, можно записать:
−
b
+
5
c
−
4
d
+
6
=
−
(
b
−
5
c
+
4
d
−
6
)
.
Рассмотрим сумму
где m — переменная. Слагаемые этой суммы 2m , −4m , 3m и −4m отличаются друг от друга
только числовыми множителями либо совсем не отличаются. Все они содержат общую
буквенную часть — переменную m .
Слагаемые, которые отличаются друг от друга только числовыми множителями или
одинаковы, называются
подобными
.
Числовой множитель в каждом из этих слагаемых называется
коэффициентом
(рис. 12 ).
слагаемые называются
подобными
, если они одинаковы или отличаются
только коэффициентами
.
Используя распределительный закон, можно упрощать выражения, которые содержат
подобные слагаемые. Например,
вынесем в этой сумме за скобки
общий множитель — переменную m
выполнив действия в скобках, получим
Такое упрощение суммы называется
приведением подобных
слагаемых
.
Чтобы
привести подобные
слагаемые
, нужно найти сумму коэффициентов и умножить ее на общий
буквенный множитель
(рис. 13 ).
Пример
4. Привести подобные слагаемые:
а)
5
y
+
7
y
−
9
y
;
б)
15
b
+
20
b
−
35
b
+
b
.
Решение . а)
5
y
+
7
y
−
9
y
=
(
5
+
7
−
9
)
y
=
3
y
;
б)
15
b
+
20
b
−
35
b
+
b
=
(
15
+
20
−
35
+
1
)
b
=
1
b
=
b
.
Пример
5. Упростить выражение
(
3
a
−
2
b
)
−
(
−
4
a
−
b
)
−
(
−
4
b
+
5
)
.
Решение .
(
3
a
−
2
b
)
−
(
−
4
a
−
b
)
−
(
−
4
b
+
5
)
=
раскрыв скобки, получим
=
3
a
−
2
b
+
4
a
+
b
+
4
b
−
5
=
использовав переместительный закон, получим
=
(
3
a
+
4
a
)
+
(
−
2
b
+
b
+
4
b
)
−
5
=
приведем подобные слагаемые
=
(
3
+
4
)
a
+
(
−
2
+
1
+
4
)
b
−
5
=
=
7
a
+
3
b
−
5.
Пример
6. Решить уравнение
12
(
3
x
−
1
)
−
(
4
x
+
2
)
=
50.
Решение .
12
(
3
x
−
1
)
−
(
4
x
+
2
)
=
50;
раскрыв скобки, получим
36
x
−
12
−
4
x
−
2
=
50
;
приведя подобные слагаемые, получим
32
x
−
14
=
50
;
32
x
=
64
;
x
=
2
.
Ответ : 2.
1
1 Запишите основные свойства (законы) сложения и умножения чисел.
1
2
2 Почему выражение
«
a
−
b
»
можно назвать суммой?
2
3
3 Как раскрыть скобки, если перед ними стоит знак «минус»? А если знак
«плюс»?
3
4
4 Как вынести множитель (−1) за скобки?
4
5
5 Какие слагаемые называются подобными? Приведите примеры подобных
слагаемых.
5
6
6 На каком законе арифметических действий основано приведение подобных
слагаемых? Сформулируйте его.
6
7
7 Как привести подобные слагаемые?
7
Упражнения
Вычислите (1.36—1.40) .
1.36°
1.36° 1)
16
+
(
−
20
)
+
14
+
(
−
10
)
;
2)
13
+
(
−
9
)
+
(
−
17
)
+
19
;
3)
−
7
+
(
−
18
)
+
11
+
(
−
5
)
+
9
+
(
−
13
)
+
(
−
22
)
+
(
−
35
)
;
4)
−
29
+
(
−
3
)
+
(
−
14
)
+
12
+
(
−
6
)
+
(
−
17
)
+
8
+
(
−
31
)
;
5)
0,75
+
(
−
2,95
)
+
4,799
+
(
−
1,05
)
+
15,201
;
6)
−
5,28
+
(
−
7,62
)
+
1,56
+
(
−
1,72
)
+
(
−
4,38
)
+
8,44
;
7)
−
4
2
7
+
(
−
8,53
)
+
(
−
3,06
)
+
⎛
⎝
−
15
5
7
⎞
⎠
+
(
−
1,47
)
+
(
−
1,94
)
;
8)
−
16,91
+
(
−
3,83
)
+
⎛
⎝
−
2
4
13
⎞
⎠
+
(
−
21,17
)
+
(
−
3,09
)
+
+
⎛
⎝
−
7
9
13
⎞
⎠
.
1.36°
1.37°
1.37° 1)
368
+
283
+
402
+
317
+
230
;
2)
374
+
93
+
28
+
526
+
12
;
3)
565
+
279
+
473
+
135
+
321
+
425
+
327
;
4)
121
+
432
+
285
+
268
+
215
+
75
+
779.
1.37°
1.38
1.38 1)
−
0,75
(
−
5
)
8
(
−
2
)
;
2)
−
0,25
(
−
6
)
4
(
−
9
)
;
3)
−
2
7
⋅
0,25
⎛
⎝
−
7
16
⎞
⎠
(
−
8
)
36
;
4)
−
2
3
(
−
0,2
)
7
16
⋅
5
(
−
24
)
;
5)
23,5
⎛
⎝
−
7
12
⎞
⎠
⋅
0
⋅
2
⎛
⎝
−
24
49
⎞
⎠
;
6)
−
14,2
⎛
⎝
−
13
15
⎞
⎠
(
−
5
)
⋅
0
⋅
75
78
;
7)
−
0,25
(
−
13
)
(
−
8
)
(
−
0,4
)
(
−
250
)
;
8)
−
0,125
(
−
0,4
)
(
−
25
)
(
−
80
)
(
−
11
)
;
9)
125
(
−
0,8
)
⎛
⎝
−
2
2
3
⎞
⎠
5
7
⋅
1
2
5
⎛
⎝
−
3
8
⎞
⎠
;
10)
−
25
⋅
0,04
⋅
3
1
4
⎛
⎝
−
4
13
⎞
⎠
5
1
6
⎛
⎝
−
6
31
⎞
⎠
.
1.38
1.39
1.39 1)
524
⋅
28
+
524
⋅
72
;
2)
273
⋅
39
+
273
⋅
61
;
3)
945
⋅
38
−
38
⋅
944
;
4)
1247
⋅
75
−
1246
⋅
75
;
5)
351
⋅
5,6
+
351
⋅
14,4
;
6)
231
⋅
9,4
+
231
⋅
20,6
;
7)
1
37
⋅
5
4
+
1
37
⋅
3
5
;
8)
1
13
⋅
6
7
−
5
8
⋅
1
13
.
1.39
1.40
1.40 1)
(
67
⋅
3,8
+
67
⋅
1,2
)
:
5
;
2)
(
93
⋅
1,1
+
93
⋅
1,9
)
:
3
;
3)
(
51
⋅
81
+
29
⋅
81
−
40
⋅
81
)
:
20
;
4)
(
162
⋅
43
+
38
⋅
43
−
50
⋅
43
)
:
75
;
5)
⎛
⎝
11
17
⋅
2
5
+
11
17
⋅
3
10
−
2
15
⋅
11
17
⎞
⎠
:
1
15
;
6)
(
5
7
⋅
2
3
−
5
7
⋅
1
4
+
1
6
⋅
5
7
)
:
1
6
.
1.40
1.41°
1.41° Представьте выражение в виде суммы:
1)
m
−
3
k
;
2)
4
p
−
0,3
;
3)
−
5
−
0,7
t
;
4)
−
2
n
−
15.
1.41°
1.42°
1.42° Запишите выражение в виде произведения двух множителей, один из которых равен
−1:
1) −а ;
2) −m ;
3) −4p ;
4) −7n ;
5) 5t ;
6) 3n ;
7) k ;
8) c ;
9) −1;
10) 0;
11) 3;
12) −1,3.
1.42°
1.43°
1.43° Найдите значение выражения:
1)
A
=
796,3
⋅
53,74
(
34
−
17
⋅
2
)
+
0,2
⋅
5
⋅
0,7
;
2)
B
=
0,1987
⋅
659,41
⋅
23
(
0,25
⋅
4
−
0,5
⋅
2
)
−
2.
1.43°
1.44
1.44 Раскройте скобки:
1)
0,9
−
(
m
−
1,9
)
;
2)
0,4
−
⎛
⎝
0,8
−
p
⎞
⎠
;
3)
−
(
k
−
3
)
−
7
;
4)
−
(
b
−
2
)
−
5
;
5)
−
⎛
⎝
p
+
2
t
−
c
⎞
⎠
+
5
;
6)
4
−
(
t
−
3
k
−
m
)
;
7)
−
(
−
a
−
b
)
−
⎛
⎝
2
p
+
3
t
⎞
⎠
;
8)
−
(
c
+
d
)
−
(
−
5
k
−
3
)
;
9)
(
−
a
−
b
)
+
⎛
⎝
−
3
t
+
2
p
⎞
⎠
;
10)
(
c
+
d
)
+
(
−
4
−
5
k
)
.
1.44
1.45
1.45 Вынесите множитель (−1) за скобки:
1)
c
+
(
m
+
n
)
;
2)
a
+
(
n
−
b
)
;
3)
n
−
(
−
t
+
k
)
;
4)
b
−
(
m
+
d
)
;
5)
(
a
+
k
)
+
(
−
c
+
d
)
;
6)
(
d
+
l
−
3
)
+
⎛
⎝
−
3
y
+
m
⎞
⎠
;
7)
(
−
m
−
n
)
−
(
2
t
−
c
)
;
8)
(
m
−
n
)
−
(
−
4
b
−
a
)
;
9)
(
m
−
3
)
−
(
−
k
−
c
+
5
)
;
10)
(
s
−
t
)
−
(
n
−
m
−
4
)
.
1.45
1.46
1.46 Чему равно число m , если единица составляет:
1) 1 % от m ;
2) 2 % от m ;
3) 5 % от m ;
4) 10% от m ;
5) 20% от m ;
6) 25% от m ;
7) 50% от m ;
8) 75% от m ;
9) 100% от m ;
10) 200 % от m ?
1.46
1.47°
1.47° Приведите подобные слагаемые:
1)
4
m
−
5
m
−
11
m
+
4
m
−
m
;
2)
6
k
−
2
k
+
12
k
+
k
−
3
k
;
3)
b
−
13
b
+
10
b
+
6
b
−
10
b
;
4)
t
+
17
t
−
5
t
−
13
t
+
5
t
;
5)
a
+
3
a
−
8
a
+
4
a
−
5
;
6)
3
+
7
c
−
11
c
+
4
c
.
1.47°
1.48°
1.48° Запишите разность двух выражений и упростите ее:
1)
a
−
16
и
9
+
a
;
2)
p
−
37
и
37
+
p
;
3)
a
+
b
и
p
+
a
;
4)
−
t
−
k
и
t
+
k
;
5)
−
m
+
n
и
n
−
m
;
6)
b
−
a
и
b
+
a
;
7)
p
−
t
и
−
t
+
p
;
8)
−
x
−
y
и
z
−
y
;
9)
p
и
−
x
−
y
+
p
;
10)
−
k
и
a
−
b
+
k
.
1.48°
1.49
1.49 Приведите подобные слагаемые:
1)
14
y
−
14
x
+
5
y
−
2
x
+
3
;
2)
−
8
m
−
9
n
+
7
m
+
18
n
−
5
;
3)
11,5
p
+
4,5
p
+
13
−
7,5
p
;
4)
−
4,6
t
+
7,8
t
−
5
t
+
9
;
5)
x
+
8,4
x
−
9,9
x
−
15
x
;
6)
3,6
a
−
2,4
a
+
a
−
5,4
a
;
7)
−
17
m
−
13
b
+
9,3
m
+
4,8
b
;
8)
4,2
k
−
1,9
n
−
12
k
+
8
n
;
9)
3
2
a
−
9
a
16
−
31
32
a
−
1
4
a
;
10)
1
6
b
−
9
5
b
+
11
18
b
−
7
36
b
.
1.49
1.50°
1.50° Дано:
A
=
2
x
+
y
,
B
=
x
−
2
y
+
3,
C
=
5
x
−
4.
Запишите выражение и упростите его:
1)
A
+
B
+
C
;
2)
A
−
B
+
C
;
3)
A
−
B
−
C
;
4)
−
A
+
B
−
C
;
5)
−
A
−
B
+
C
;
6)
−
A
−
B
−
C
.
1.50°
1.51°
1.51° Найдите значение выражения:
1)
(
−
6
)
(
3
a
+
8
)
−
3
(
a
−
5
)
при а , равном
−
2,5
;
2
3
;
0,8
;
2)
2
(
3
−
a
)
−
4
(
2
a
−
1
)
при а , равном
−
0,1
;
4
5
;
2.
1.51°
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые (1.52—1.55).
1.52
1.52 1)
0,7
−
⎛
⎝
p
−
1,7
⎞
⎠
;
2)
−
(
26,3
−
b
)
−
10,7
;
3)
−
⎛
⎝
9,3
−
y
⎞
⎠
+
35,3
;
4)
−
0,39
−
(
15,41
−
a
)
;
5)
t
−
(
7,4
+
t
)
;
6)
−
m
−
(
5,3
−
m
)
.
1.52
1.53
1.53 1)
p
−
(
a
+
p
)
;
2)
b
−
(
b
−
a
)
;
3)
(
m
−
y
)
−
m
;
4)
b
+
⎛
⎝
p
−
b
⎞
⎠
;
5)
−
m
−
(
a
−
b
−
m
)
;
6)
t
−
(
p
−
x
+
t
)
;
7)
−
24
+
⎛
⎝
24
−
y
⎞
⎠
;
8)
13
+
(
x
−
13
)
.
1.53
1.54
1.54 1)
t
+
(
y
−
t
)
+
(
p
+
t
)
;
2)
−
y
+
(
a
−
n
)
+
(
y
−
a
)
;
3)
p
−
⎛
⎝
b
+
y
⎞
⎠
−
⎛
⎝
b
−
y
⎞
⎠
;
4)
n
−
(
x
−
m
)
−
(
n
−
x
)
;
5)
16
a
−
8
(
a
+
b
)
−
6
b
;
6)
24
b
−
8
⎛
⎝
2
b
+
p
⎞
⎠
+
18
p
;
7)
(
2
a
+
5
b
)
+
2
(
8
a
−
11
b
)
−
(
9
b
−
5
a
)
;
8)
3
⎛
⎝
3
x
−
10
y
⎞
⎠
−
⎛
⎝
6
x
−
3
y
⎞
⎠
+
⎛
⎝
6
y
−
8
x
⎞
⎠
.
1.54
1.55
1.55 1)
(
8
a
+
3
c
)
−
⎛
⎝
−
7
a
−
(
11
c
+
4
)
⎞
⎠
−
(
−
3
a
−
8
)
;
2)
(
3
m
+
4
n
)
−
⎛
⎝
2
m
−
(
3
n
−
5
)
⎞
⎠
−
(
−
4
m
−
16
)
;
3)
(
x
+
y
−
z
)
−
(
y
+
z
)
+
⎛
⎝
z
−
(
x
+
y
)
⎞
⎠
;
4)
(
a
−
c
)
−
⎛
⎝
a
−
(
b
+
c
)
⎞
⎠
−
(
a
−
b
−
c
)
;
5)
⎛
⎝
5
a
−
(
3
b
−
c
)
⎞
⎠
−
(
8
b
−
8
a
−
c
)
+
(
3
b
−
7
c
)
;
6)
⎛
⎝
2
t
−
3
m
+
p
⎞
⎠
−
⎛
⎝
t
−
⎛
⎝
5
p
−
m
⎞
⎠
⎞
⎠
−
(
m
+
p
−
t
)
;
7)
⎛
⎝
3
m
−
(
8
t
−
k
)
⎞
⎠
−
(
5
t
+
4
m
−
3
k
)
−
2
k
;
8)
⎛
⎝
8
x
+
3
y
−
z
⎞
⎠
−
⎛
⎝
x
−
⎛
⎝
y
−
2
z
⎞
⎠
⎞
⎠
−
4
y
.
1.55
Решите уравнение (1.56—1.58) .
1.56
1.56 1)
6
x
−
(
4
x
−
1
)
=
13
;
2)
28
−
(
3
x
−
6
)
=
37
;
3)
(
2
x
+
6
)
−
(
x
−
1
)
=
10
;
4)
(
4
x
−
3
)
−
(
2
x
+
7
)
=
22
;
5)
(
3
x
−
1
)
−
(
2
+
x
)
=
13
;
6)
(
5
−
x
)
−
(
8
−
4
x
)
=
18.
1.56
1.57
1.57 1)
4
(
5
−
x
)
−
(
3
x
−
6
)
=
0
;
2)
5
(
3
+
2
x
)
−
2
(
4
+
x
)
=
0
;
3)
3
(
2
−
3
x
)
(
−
1
)
+
7
(
4
−
2
x
)
=
12
;
4)
2
(
4
−
5
x
)
(
−
1
)
−
(
6
+
7
x
)
=
5.
1.57
1.58
1.58 1)
3
(
1
−
2
x
)
−
6
(
3
x
−
4
)
−
5
(
3
−
x
)
=
88
;
2)
23
−
7
(
3
x
−
1
)
−
3
(
x
+
1
)
=
0
;
3)
7
(
6
x
+
1
)
+
4
(
2
−
3
x
)
−
9
(
9
x
+
4
)
=
30
;
4)
45
−
3
(
2
x
+
1
)
−
2
(
x
+
3
)
+
5
(
x
−
7
)
=
0.
1.58
1.59
1.59 Назовите:
1) наибольшее однозначное число;
2) наименьшее двузначное число;
3) наименьшее натуральное число;
4) наибольшее целое отрицательное число;
5) наименьшее двузначное число, кратное 5;
6) наибольшее двузначное число, кратное 6.
1.59
1.60
1.60 Отметьте на координатной прямой все точки, изображающие:
1) четные числа, модуль которых больше 5, но меньше 8;
2) целые числа, модуль которых меньше 5, но больше 1;
3) целые числа, кратные 4, модуль которых меньше 12;
4) целые числа, кратные 3, модуль которых больше 4, но меньше 12.
1.60
